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    芝诺悖论:阿基里斯永远追不上乌龟?
    撰稿:数学教研室  审核:陈梦实  更新时间:2016/10/20 0:03:40  点击数:1198 

          公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺为了支持他老师巴门尼德关于存在不动、是一的学说(万物为一且永不变化的学说),提出了四个著名的悖论,即:“二分法”“飞矢不动”“阿基里斯与乌龟”和“运动场”,以表明运动和多是不可能的。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书而为后人所知,“阿基里斯与乌龟”是这些悖论中最为著名的一个。

          阿基里斯是荷马史诗《伊利亚特》中的英雄,也就是“特洛伊战争”中那个著名的希腊将领。传说中,阿基里斯武艺高强,而且奔跑速度极快,能够日行千里,是位中国式的神行太保。芝诺提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,设所用的时间为t,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的时间为t/10,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,他所用的时间为t/100,乌龟仍然领先他1米,阿基里斯只能再追向那个1米,......,如此循环下去。就这样,乌龟会制造出无穷个节点,它总能在起点与阿基里斯之间制造一个距离,不管这个距离有多小,但只要乌龟不停地奋力向前爬,阿基里斯只能够继续无限逼近乌龟,但永远追不上乌龟。

          这一悖论十分具有迷惑性,芝诺的结论在常人看来当然是不可接受的,不过若细细推敲,其结论未必荒谬,其论证未必令人不信服。按照芝诺的假设,两个物体的相对连续运动必须到达被追者的出发点,当阿基里斯追到100米时,乌龟已经向前爬了10米,于是一个新的起点产生了;阿基里斯必须继续追,而当他到乌龟爬过的10米时,乌龟又向前爬了1米,“乌龟”—动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点,此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追者的前面。

          实际上,这一悖论的结论显然是荒谬绝伦的,“芝诺悖论”之所以被称为“悖论”,他自己也被后世称为“诡辩论者”,是因为他的悖论完全违反常理,那么这一悖论究竟“悖”在哪里呢?我们可作如下分析:

          最初阿基里斯和乌龟之间的距离是1000米;

          第一段路程阿基里斯跑了1000米,所用的时间为t,乌龟还在前面领先100米;

          第二段路程阿基里斯跑了100米,所用的时间为t/10,乌龟还在前面领先10米;

          第三段路程阿基里斯跑了10米,所用的时间为t/100,乌龟还在前面领先1米;

          ......

          表面上人们被距离数列1000+100+10+1+...好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了,没有考虑到时间数列t+0.1t+0.01t+0.001t+...是很容易达到和超过的了。

          其实,我们根据无穷等比数列求和公式,可计算出阿基里斯在跑了
    S=1000(1+1/10+1/100+...)=1000*(1/(1-1/10))=10000/9(米)
    的距离时便可追上乌龟。

          同理,我们不妨来计算下阿基里斯能够追上乌龟的时间应为
    T=t(1+1/10+1/100+...)=t*(1/(1-1/10))=10t/9

          既然我们都能算出阿基里斯追上乌龟所需的路程和所花的时间,我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢?然而问题出在这里:我们在这里有个假定,那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟,才求出的这个时间。芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟,是指在有限时间内追不上,并非永远追不上。由于阿基里斯和乌龟是在不断运动的,对时间没有限制,时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件,阿基里斯就追上了或超过了乌龟。

          芝诺悖论完全分离了运动与静止,把运动绝对化,否定客观标准,从而陷入了相对主义诡辩论的泥潭。找到了困惑的根源,总有一种让人如释重负的感觉,所以今后在遇到问题时,关键在于能否多用一点时间来进行认真的思考,去粗取精,去伪存真,抓住问题的本质,使自己成为一个有理性、有智慧的人。

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